בגרות קיץ 2026 מועד א׳ – תיבה ומישור AECוקטורים 572 · שיעור 40
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′.
נסמן: AA′ = w , AB = v , AD = u.
הנקודה E היא אמצע המקצוע BB′.
א. הביעו את EA ו־EC באמצעות u, v ו־w.
הנקודה M מקיימת BM = 16u − 23v + 112w.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. הביעו את EM באמצעות u, v ו־w.
נתון: EM = a · EA + b · EC. a ו־b הם פרמטרים.
ג. (1) מצאו את הערך של a ואת הערך של b. (2) האם הנקודה M נמצאת במישור AEC? נמקו את תשובתכם.
נתון כי |w| = 4 והווקטור BM מאונך למישור AEC.
ד. מצאו את הערך של |u| ואת הערך של |v|.
📄 נוסח השאלה · המשך
ה. חשבו את המרחק בין הנקודה B ובין המישור AEC.
סעיף א – הבעת EA ו־EC
בתיבה המקצועות המקבילים שווים ומקבילים, ולכן: BB′ = w, BC = u, BA = −v.
E אמצע BB′, ולכן EB = −12w (מ־E יורדים חצי מקצוע אל B).
EA = EB + BA
📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב EB = −12w , BA = −v :
EA = −12w + (−v)
EA = −v − 12w
📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)
PQ = PR + RQ
סעיף א – הבעת EA ו־EC · המשך
EA = −v − 12w
EC = EB + BC
📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב EB = −12w , BC = u :
EC = −12w + u
EC = u − 12w
✅ פתרון סופי: EA = −v − 12w , EC = u − 12w
📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)
PQ = PR + RQ
סעיף ב – הבעת EM
EM = EB + BM
📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב EB = −12w , BM = 16u − 23v + 112w (נתון):
EM = −12w + 16u − 23v + 112w
EM = −12w + 16u − 23v + 112w
נכנס את המקדמים של w:
−12 + 112 = −612 + 112 = −512
📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)
PQ = PR + RQ
סעיף ב – הבעת EM · המשך
−12 + 112 = −612 + 112 = −512
EM = 16u − 23v − 512w
✅ פתרון סופי: EM = 16u − 23v − 512w
סעיף ג (1) – הערכים של a ו־b
EM = a · EA + b · EC
נציב EA = −v − 12w , EC = u − 12w (מסעיף א):
a · EA + b · EC = a(−v − 12w) + b(u − 12w)
a · EA + b · EC = bu − av − a2w − b2w
a · EA + b · EC = bu − av − a + b2w
הווקטורים u, v, w אינם באותו מישור, ולכן אפשר להשוות את המקדמים בשני הצדדים של EM = aEA + bEC:
📐 משפט: השוואת מקדמים
📐 משפט: השוואת מקדמים
אם שלושה וקטורים אינם במישור אחד, ההצגה של וקטור בעזרתם היא יחידה
סעיף ג (1) – הערכים של a ו־b · המשך
הווקטורים u, v, w אינם באותו מישור, ולכן אפשר להשוות את המקדמים בשני הצדדים של EM = aEA + bEC:
📐 משפט: השוואת מקדמים
מקדם u:
b = 16
מקדם v:
−a = −23
a = 23
📐 משפט: השוואת מקדמים
אם שלושה וקטורים אינם במישור אחד, ההצגה של וקטור בעזרתם היא יחידה
סעיף ג (1) – הערכים של a ו־b · המשך
a = 23
בדיקה במקדם w:
−a + b2 = −512
נציב a = 23 , b = 16 :
−23 + 162 = −562 = −512 ✓
✅ פתרון סופי: a = 23 , b = 16
סעיף ג (2) – האם M במישור AEC
מצאנו מספרים a ו־b שמקיימים את שלוש המשוואות (גם את הבדיקה במקדם w), כלומר:
EM = 23EA + 16EC
הווקטור EM הוא צירוף של שני וקטורים במישור AEC שיוצאים מהנקודה E, ו־E עצמה נמצאת במישור. לכן גם הנקודה M נמצאת במישור AEC.
✅ פתרון סופי: כן, הנקודה M נמצאת במישור AEC
סעיף ד – אורכי u ו־v
התיבה בקנה מידה (|u| = 2, |v| = 1, |w| = 4): המישור AEC בתכלת, והווקטור BM בירוק
בתיבה המקצועות מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה הסקלרית של כל שניים מהם היא 0:
u · v = u · w = v · w = 0
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
BM מאונך למישור AEC, ולכן הוא מאונך לשני וקטורים שאינם מקבילים במישור, EA ו־EC:
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
סעיף ד – אורכי u ו־v · המשך
BM מאונך למישור AEC, ולכן הוא מאונך לשני וקטורים שאינם מקבילים במישור, EA ו־EC:
ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור.
📐 משפט: ישר מאונך למישור
המכפלה עם EA:
BM · EA = 0
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
נציב BM = 16u − 23v + 112w , EA = −v − 12w :
(16u − 23v + 112w) · (−v − 12w) = 0
📐 משפט: ישר מאונך למישור
מאונך לשני ישרים נחתכים במישור
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
a · b = 0
סעיף ד – אורכי u ו־v · המשך
(16u − 23v + 112w) · (−v − 12w) = 0
כל המכפלות של שני וקטורים שונים מתאפסות. נשארות רק מכפלות v · v ו־w · w:
(−23) · (−1) · |v|2 + 112 · (−12) · |w|2 = 0
📐 נוסחה: מכפלה של וקטור בעצמו
23|v|2 − 124|w|2 = 0
נציב |w|2 = 42 = 16 :
23|v|2 − 124 · 16 = 0
📐 נוסחה: מכפלה של וקטור בעצמו
a · a = |a|2
סעיף ד – אורכי u ו־v · המשך
23|v|2 − 124 · 16 = 0
23|v|2 = 23
|v|2 = 1
|v| = 1
המכפלה עם EC:
BM · EC = 0
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
a · b = 0
סעיף ד – אורכי u ו־v · המשך
BM · EC = 0
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
נציב BM = 16u − 23v + 112w , EC = u − 12w :
(16u − 23v + 112w) · (u − 12w) = 0
16|u|2 + 112 · (−12) · |w|2 = 0
📐 נוסחה: מכפלה של וקטור בעצמו
16|u|2 − 124|w|2 = 0
נציב |w|2 = 16 :
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
a · b = 0
📐 נוסחה: מכפלה של וקטור בעצמו
a · a = |a|2
סעיף ד – אורכי u ו־v · המשך
נציב |w|2 = 16 :
16|u|2 − 124 · 16 = 0
16|u|2 = 23
|u|2 = 4
|u| = 2
✅ פתרון סופי: |u| = 2 , |v| = 1
סעיף ה – המרחק בין B למישור AEC
הנקודה M נמצאת במישור AEC (סעיף ג), והווקטור BM מאונך למישור (נתון). לכן BM הוא האנך מ־B למישור, והמרחק המבוקש הוא האורך |BM|.
|BM|2 = BM · BM
📐 נוסחה: אורך וקטור
נציב BM = 16u − 23v + 112w :
|BM|2 = (16u − 23v + 112w) · (16u − 23v + 112w)
המכפלות המעורבות מתאפסות (מקצועות מאונכים), ונשארים הריבועים:
|BM|2 = 136|u|2 + 49|v|2 + 1144|w|2
📐 נוסחה: אורך וקטור
|a|2 = a · a
סעיף ה – המרחק בין B למישור AEC · המשך
|BM|2 = 136|u|2 + 49|v|2 + 1144|w|2
נציב |u|2 = 4 , |v|2 = 1 , |w|2 = 16 (סעיף ד ונתון):
|BM|2 = 136 · 4 + 49 · 1 + 1144 · 16
|BM|2 = 19 + 49 + 19
|BM|2 = 69 = 23
|BM| = √23 ≈ 0.82
סעיף ה – המרחק בין B למישור AEC · המשך
|BM| = √23 ≈ 0.82
✅ פתרון סופי: √23 ≈ 0.82
📌 סיכום התשובות
סעיף א
EA = −v − 12w , EC = u − 12w
סעיף ב
EM = 16u − 23v − 512w
סעיף ג (1)
a = 23 , b = 16
סעיף ג (2)
כן
סעיף ד
|u| = 2 , |v| = 1
סעיף ה
√23 ≈ 0.82
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא